Question

如圖，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC=，BB₁＝3，D為A₁C₁的中點，F在線段AA₁上．
（1）AF為何值時，CF⊥平面B₁DF？
（2）設AF=1，求平面B₁CF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

（1）AF＝1或2時，CF⊥平面B₁DF
（2）銳二面角的余弦值

（1）因為直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，

 
BB₁⊥面ABC，∠ABC＝．
以B點為原點，BA、BC、BB₁分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系.
因為AC＝2，∠ABC＝90º，所以AB＝BC＝，
從而B(0，0，0)，A，C，B₁(0，0，3)，A₁，C₁，D，E．
所以，
設AF＝x，則F(，0，x)，
.
，所以       
要使CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F.
由＝2＋x（x－3）＝0，得x＝1或x＝2，
故當AF＝1或2時，CF⊥平面B₁DF．……………… 5分
（2）由（1）知平面ABC的法向量為n₁=（0，0，1）.    
設平面B₁CF的法向量為，則由得
令z=1得，
所以平面B₁CF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值
………………… 10分