Question

（2013•閘北區二模）和平面解析幾何的觀點相同，在空間中，空間曲面可以看作是適合某種條件的動點的軌跡．在空間直角坐標系O-xyz中，空間曲面的方程是一個三元方程F（x，y，z）=0．
設F₁、F₂為空間中的兩個定點，|F₁F₂|=2c＞0，我們將曲面Γ定義為滿足|PF₁|+|PF₂|=2a（a＞c）的動點P的軌跡．
（1）試建立一個適當的空間直角坐標系O-xyz，求曲面Γ的方程；
（2）指出和證明曲面Γ的對稱性，并畫出曲面Γ的直觀圖．

Answer 1

分析：（1）以直線F₁F₂為x軸，線段F₁F₂的垂直平分線為x軸，以與xoy平面垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標系如圖．設P的坐標為（x，y，z），根據兩點間的距離公式，以a、c為參數建立關于x、y、z的等式，再移項、平方，化簡整理得二次方程為

x2

a2-c2

+

y2

a2

+

z2

a2-c2

=1，即為所求曲面Γ的方程；
（2）根據空間關于原點、坐標軸和坐標平面對稱的公式，分別對（1）求出的方程加以驗證，可得曲面Γ是關于原點對稱、關于三條坐標軸對稱，也關于三個坐標平面對稱的圖形．因此不難作出它的直觀圖，如圖所示．

解答：解：（1）以兩個定點F₁，F₂的中點為坐標原點O，以F₁，F₂所在的直線為y軸，以線段F₁F₂的垂直平分線為x軸，
以與xoy平面垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，如圖所示
則F₁（0，c，0），F₂（0，-c，0），設P的坐標為（x，y，z），可得
|F₁F₂|=2c＞0，|

PF1

|+|

PF2

|=2a(a＞c)，
∴

x2+(y+c)2+z2

+

x2+(y-c)2+z2

=2a，
移項得

x2+(y+c)2+z2

=2a-

x2+(y-c)2+z2

兩邊平方，得∴a

x2+(y-c)2+z2

=a2-cy，
兩邊平方，整理得

x2

a2-c2

+

y2

a2

+

z2

a2-c2

=1
令

a2-c2

=b，得

x2

b2

+

y2

a2

+

z2

b2

=1．①
因此，可得曲面Γ的方程為

x2

b2

+

y2

a2

+

z2

b2

=1．
（2）對稱性：
由于點（x，y，z）關于坐標原點O的對稱點（-x，-y，-z）也滿足方程①，
說明曲面Γ關于坐標原點O對稱；                                                   
由于點（x，y，z）關于x軸的對稱點（x，-y，-z）也滿足方程①，
說明曲面Γ關于x軸對稱；同理，曲面Γ關于y軸對稱；關于z軸對稱．
由于點（x，y，z）關于xOy平面的對稱點（x，y，-z）也滿足方程①，
說明曲面Γ關于xOy平面對稱；同理，曲面Γ關于xOz平面對稱；關于yOz平面對稱．
由以上的討論，可得曲面Γ的直觀圖如右圖所示．

點評：本題給出空間滿足到兩個定點距離之和為定值的點，求該點的軌跡．著重考查了橢圓的定義、軌跡方程求法和曲線與方程的性質等知識，屬于中檔題．