Question

【題目】已知函數，其中

（Ⅰ）若函數在處的切線與直線垂直，求的值；

（Ⅱ）討論函數極值點的個數，并說明理由；

（Ⅲ）若， 恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，函數有一個極值點；當時，函數無極值點；當時，函數有兩個極值點;（3）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）對函數求導，利用導數的幾何意義可得切線的斜率，結合切線與直線垂直，可求得的值；（Ⅱ）根據，令．對與分類討論可得：（1）當時，此時，即可得出函數的單調性與極值的情況；（2）當時， ，①當時， ，②當時， ，即可得出函數的單調性與極值的情況；（3）當時， ，即可得出函數的單調性與極值的情況；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：（1）當時，可得函數在上單調性，即可判斷出；（2）當時，由，可得，函數在上單調性，即可判斷出；（3）當時，設，研究其單調性，即可判斷.

試題解析：（Ⅰ）因為，由在處的切線與直線垂直，

可知，所以；

（Ⅱ）由題意知，函數的定義域為， ，

令， .

（i）當時， ，此時，函數在單調遞增，無極值點；

（ii）當時，方程的判別式.

①當時， ， ， ，函數在單調遞增，無極值點；

②當時， ，設方程的兩根為， ，因為，

的對稱軸方程為，所以， ，由，

可得 .

所以當時， ， ，函數單調遞增；

當時， ， ，函數單調遞減；

當時， ， ，函數單調遞增.因此函數有兩個極值點.

（iii）當時， ，由，可得，

當時， ， ，函數單調遞增；

當時， ， ,函數單調遞減，所以函數有一個極值點.

綜上所述，當時，函數有一個極值點；

當時，函數無極值點；

當時，函數有兩個極值點.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

①當時，函數在單調遞增，因為，所以時， ，符合題意；

②當時， ，得，函數在上單調遞增，又，所以時， ，符合題意；

③當時，設，因為時，所以 ，所以在上單調遞增，所以，即，可得 ，而當時， ，即此時，不符合題意.

綜上所述， 的取值范圍是.