Question

如圖展示了一個(gè)由區(qū)間（0，1）到實(shí)數(shù)集R的對(duì)應(yīng)過(guò)程：區(qū)間（0，1）中的實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)數(shù)軸上（線段AB）的點(diǎn)M（如圖1）；將線段AB圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)A、B恰好重合（如圖2）；再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上；點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1）（如圖3），當(dāng)點(diǎn)M從A到B是逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)，圖3中直線AM與x軸交于點(diǎn)N（n，0），按此對(duì)應(yīng)法則確定的函數(shù)使得m與n對(duì)應(yīng)，即
f（m）=n．

對(duì)于這個(gè)函數(shù)y=f（x），有下列命題：
①；  ②f（x）的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)；  ③若，則；  ④f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增．
其中正確的命題個(gè)數(shù)是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：由題中對(duì)映射運(yùn)算描述，對(duì)四個(gè)命題逐一判斷其真?zhèn)危�①因�(yàn)镸在以（1，1-）為圓心，（1-）為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)m=時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-1，0），故f（）=-1；②可由圖3中圓關(guān)于Y軸的對(duì)稱(chēng)判斷出正誤；③由，得到∠ANO=30°，∠OAN=60°，由此求出x；④可由圖3得到M的運(yùn)動(dòng)規(guī)律觀察出函數(shù)值的變化，得出單調(diào)性．
解答：解：如圖，因?yàn)镸在以（1，1-）為圓心，（1-）為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
對(duì)于①當(dāng)m=．M的坐標(biāo)為（-，1-），直線AM方程y=x+1，所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-1，0），故f（）=-1，故①正確．
②是正確命題，由圖3可以看出，當(dāng)M點(diǎn)的位置離中間位置相等時(shí)，N點(diǎn)關(guān)于Y軸對(duì)稱(chēng)，即此時(shí)函數(shù)值互為相反數(shù)，故可知f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)．
③是正確命題．∵，
∴∠ANO=30°，∴∠OAN=60°，
∴．
④是正確命題，由圖3可以看出，m由0增大到1時(shí)，M由A運(yùn)動(dòng)到B，此時(shí)N由x的負(fù)半軸向正半軸運(yùn)動(dòng)，由此知，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐漸變大，故f（x）在定義域上單調(diào)遞增是正確的；
綜上知，①③④是正確命題，
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查映射的概念，解答本題關(guān)鍵是理解題設(shè)中所給的對(duì)應(yīng)關(guān)系，正確認(rèn)識(shí)三個(gè)圖象的意義，由此對(duì)四個(gè)命題的正誤作出判斷，本題題型新穎，寓數(shù)于形，是一個(gè)考查理解能力的題，對(duì)題設(shè)中所給的關(guān)系進(jìn)行探究，方可得出正確答案，本題易因?yàn)槔斫獠涣祟}意而導(dǎo)致無(wú)法下手，較抽象，是難題．