Question

直角坐標系xoy中，點（2，-2）在矩陣M=

0   1 a   0

對應變換作用下得到點（-2，4），曲線C：x²+y²=1在矩陣M對應變換作用下得到曲線C′，
（1）求曲線C′的方程．
（2）求矩陣M的特征值和特征向量．

Answer 1

考點：幾種特殊的矩陣變換

專題：矩陣和變換

分析：本題（1）可利用已知點在矩陣作用下點的坐標，得到關于參數(shù)的方程，解出方程求出矩陣，再通過矩陣變換得到點的變化關系，用代入法求出曲線的方程；（2）通過特征多項式求出特征值，再通過方程組求出相應的特征向量．

解答：解：∵點（2，-2）在矩陣M=

0   1 a   0

對應變換作用下得到點（-2，4），
∴

0 1 a 0

2 -2

=

-2 4

，
∴2a=4，
∴a=2．
設曲線C上一點P（x，y）在矩陣M對應變換作用下，對應曲線C′上一點P′（x′，y′）．
∵

0 1 2 0

x y

=

x′ y′

，
∴

y=x′ 2x=y′

，
∵曲線C：x²+y²=1，
∴

y′2

4

+x′2=1，
∴曲線C′的方程為x2+

y2

4

=1．
（2）矩陣M=

0 1 2 0

的特征多項式為：f(λ)=

.

λ -1 -2 λ

.

=λ²-2．
令f（λ）=0，λ=±

2

，
當λ=

2

時，

2 x-y=0 -2x+ 2 y=0

，取x=1，則y=

2

，α=

1 2

；
當λ=-

2

時，

- 2 x-y=0 -2x- 2 y=0

，取x=1，則y=-

2

，α=

1 - 2

．
∴矩陣M的特征值為

2

，-

2

，對應的特征向量分別為

1 2

，

1 - 2

．

點評：本題考查了矩陣與向量的積、矩陣的特征值特征向量以及利用矩陣變換研究曲線的方程等知識，有一定的計算量，屬于中檔題．