Question

設函數f（x）=x²+ax+b（a，b為實常數），數列{a_n}，{b_n}定義為：a₁=

1

2

，2a_n+1=f（a_n）+15，b_n=

1

2+an

（n∈N^*）．已知不等式|f（x）≤2x²+4x-30|對任意實數x均成立．
（1）求實數a，b的值；
（2）若將數列{b_n}的前n項和與乘積分別記為S_n和T_n，證明：對任意正整數n，2ⁿ⁺¹T_n+S_n為定值；
（3）證明：對任意正整數n，都有2[1-（

4

5

）ⁿ]≤S_n＜2．

Answer 1

分析：（1）設方程2x²+4x-30=0的兩個根為α，β，則|f（α）|≤0，從而f（α）=0，同理f（β）=0，由韋達定理能求出a和b．
（2）由f（x）=x²+2x-15，知bn=

1

2+an

=

an

2an+1

=

an2

2an+1an

=

an+1-an

an+1an

=

1

an

-

1

an+1

(n∈N+)，Tn=b1b2…bn=

a1

2a2

•

a2

2a3

…

an

2an+1

=

1

2n+1an-1

，（n∈N⁺），由此能夠證明對任意n∈N⁺，有2ⁿ⁺¹T_n+S_n為定值．
（3）由a1＞0，an+1=

an2

2

+an，知{a_n}為單調遞增的正數數列，由bn=

1

2+an

，n∈N+，知{b_n}為單調遞減的正數數列，且b1=

2

5

．由此能夠證明對任意正整數n，都有2[1-（

4

5

）ⁿ]≤S_n＜2．

解答：解：（1）設方程2x²+4x-30=0的兩個根為α，β，則|f（α）|≤0，
從而f（α）=0，同理f（β）=0，
∴f（x）=（x-α）（x-β）．
由韋達定理得a=-（α+β）=2，b=αβ=-15．
（2）證明：由（1）知f（x）=x²+2x-15，
從而2a_n+1=a_n（a_n+2），即an+1=

an2

2

+an(n∈N+)，
∴bn=

1

2+an

=

an

2an+1

=

an2

2an+1an

=

an+1-an

an+1an

=

1

an

-

1

an+1

(n∈N+)，
Tn=b1b2…bn=

a1

2a2

•

a2

2a3

…

an

2an+1

=

1

2n+1an+1

，（n∈N⁺），
Sn=b1+b2+…+bn=(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…(

1

an

-

1

an+1

)
=2-

1

an+1

，(n∈N+)．
∴對任意n∈N⁺，有2ⁿ⁺¹T_n+S_n為定值．
（3）證明：∵a1＞0，an+1=

an2

2

+an，
∴a_n+1＞a_n＞0，n∈N⁺，
即{a_n}為單調遞增的正數數列，
∵bn=

1

2+an

，n∈N+，
∴{b_n}為單調遞減的正數數列，且b1=

2

5

．
于是Tn≤b1n-(

2

5

)n，n∈N+，
∵Sn=2-

1

an-1

=2-2n+1 Tn，n∈N+，
∴對任意正整數n，都有2[1-（

4

5

）ⁿ]≤S_n＜2．

點評：本題考查數列和函數的綜合運用，解題時要認真審題，注意韋達定理、數列性質的合理運用．