Question

【題目】如圖，三棱柱中，側面為菱形， .

（1）證明： ；

（2）若，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連接，交于點菱形性質得根據線面垂直判定定理得平面即得結論，（2）根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解各面法向量，根據向量數量積求夾角，最后根據二面角與向量夾角相等或互補關系求二面角的正弦值.

試題解析：（1）證明：連接，交于點，連接，因為側面為菱形，

所以，且為與的中點， ，∴，

又，所以平面.

故

（2）在中，∵，∴.

結合（1）可知， 三條直線兩兩垂直，因此，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.

在中，∵，∴，

又因為為的中點，所以.

因為，所以為等邊三角形，

因為，所以， .

所以， ， ， .

， ，

設是平面的一個法向量，

則，即，所以可取，則.

同理，平面一個法向量

則，所以.