Question

（理科）2013年將舉辦的第十二屆中國•東海國際水晶節，主題為“水晶之都•福如東海”，于9月28日在國內唯一水晶博物館正式開幕．為方便顧客，在休息區200m²的矩形區域內布置了如圖所示的休閑區域（陰影部分），已知下方是兩個相同的矩形．在休閑區域四周各留下1m寬的小路，若上面矩形部分與下方矩形部分高度之比為1：2．問如何設計休息區域，可使總休閑區域面積最大．

Answer 1

分析：設整個休息區域的寬為xm，建立休閑區域面積對應的函數關系式，利用基本不等式進行求解即可．

解答：解：設整個休息區域的寬為xm，則高為

200

x

m．
下方矩形寬為

x-3

2

，高為(

200

x

-3)×

2

3

=

400

3x

-2；
上方矩形寬為x-2，高為(

200

x

-3)×

1

3

=

200

3x

-1．        
則休閑區域面積y=2×

x-3

2

×(

400

3x

-2)+(x-2)×(

200

3x

-1)=208-(

1600

3x

+3x)≤208-2

1600 3x ×3x

=128m²．       
當且僅當

1600

3x

=3x，即x=

40

3

m時，上式取等號．
答：當矩形的寬為

40

3

m，高為15m時，休閑區域面積最大．

點評：本題主要考查函數的應用題，利用基本不等式進行求解是解決本題的關鍵．考查學生的運算能力．