Question

【題目】已知圓過橢圓的左、右焦點和短軸的端點（點在點上方）．為圓上的動點（點不與重合），直線分別與橢圓交于點，其中點構成四邊形．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）求四邊形面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據題意可知，再根據的關系，可求出的值，即可得到橢圓的標準方程；

（2）設出直線的方程，并將其與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系和弦長公式求出，然后求出，即可求出四邊形面積的表達式，進而求出取值范圍即可.

（1）由題意可知，則，

所以橢圓的標準方程為．

（2）因為為圓上的動點，且不與重合，所以，直線的斜率存在且不為0.

設直線，直線，

將直線的方程與橢圓的方程聯立，得，

消去并整理得，

則，

設，則，

所以，

因為直線與直線平行，所以兩直線分別與橢圓相交所得的弦長相等，

用代替，可得，

所以四邊形的面積．

因為，所以，

又，當且僅當時取等號，

所以，，

即四邊形面積的取值范圍為．