Question

已知函數f（x）=a•4^x-2^x+1+a+3．
（1）若a=0，解方程f（2x）=-5；
（2）若a=1，求f（x）的單調區間；
（3）若存在實數x₀∈[-1，1]，使f（x₀）=4，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a=0代入，可得指數方程，求解即可；
（2）a=1代入，再利用單調性的定義，注意分類討論，從而確定函數的單調區間；
（3）設2^x=t，由x₀∈[-1，1]，得t∈[

1

2

，2]，且f（x）=a•4^x-2^x+1+a+3=a•t²-2t+a+3，所以存在t∈[

1

2

，2]，使得a•t²-2t+a+3=4，即a•t²-2t+a-1=0，構建函數，用函數的思想解決方程根的問題．

解答：解：（1）若a=0，由f（2x）=-5，即-2^2x+1+3=-5，
∴2^2x+1=8，∴2^2x+1=2³，
∴2x+1=3
∴x=1（2分）
（2）若a=1，則f（x）=4^x-2^x+1+4，設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=4x2-2x2+1+4-(4x1-2x1+1+4)=(4x2-4x1)-2(2x2-2x1)=(2x2-2x1)(2x2+2x1-2)
∵2x2-2x1＞0
①當x₁，x₂∈[0，+∞）時，有2x2+2x1-2＞0，
∴(2x2-2x1)(2x2+2x1-2)＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數；
②當x₁，x₂∈（-∞，0]時，有2x2+2x1-2＜0，
∴(2x2-2x1)(2x2+2x1-2)＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（-∞，0]上是減函數
∴f（x）的單調增區間是[0，+∞），單調減區間是（-∞，0]（7分）
（3）設2^x=t，由x₀∈[-1，1]，得t∈[

1

2

，2]，且f（x）=a•4^x-2^x+1+a+3=a•t²-2t+a+3
∴存在t∈[

1

2

，2]，使得a•t²-2t+a+3=4，即a•t²-2t+a-1=0
令g（t）=a•t²-2t+a-1，
若a=0，由f（x₀）=4，無解．
若a≠0，則函數g（t）的對稱軸是t=

1

a

由已知得方程g（t）=0在t∈[

1

2

，2]上有實數解
∴g(

1

2

)g(2)≤0或

a＞0 1 2 ≤ 1 a ≤2 △≥0 g( 1 2 )≥0 g(2)≥0

∴(

5

4

a-2)(5a-5)≤0或

a＞0 1 2 ≤ 1 a ≤2 1- 5 2 ≤ a≥ 8 5 a≥1

a≤

1+ 5

2

∴1≤a≤

8

5

或

8

5

≤a≤

1+ 5

2

∴實數a的取值范圍為[1，

1+ 5

2

]．

點評：本題以指數函數為載體，考查指數方程，考查函數的單調性，同時考查存在性問題，解題時應注意正確分類．