Question

（本小題滿分16分）
已知函數是偶函數.
（1）求的值；
（2）設函數，其中若函數與的圖象有且只有一個交點，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）。

本試題主要是考查了函數的奇偶性和函數與方程的綜合運用。
（1）∵是偶函數，∴對任意，恒成立即：恒成立，∴
（2）由于，所以定義域為，
也就是滿足∵函數與的圖象有且只有一個交點，
∴方程在上只有一解
即：方程在上只有一解，結合指數函數構造二次函數求解得到。
解：（1）∵是偶函數，
∴對任意，恒成立            2分
即：恒成立，∴       5分
（2）由于，所以定義域為，
也就是滿足                                              7分
∵函數與的圖象有且只有一個交點，
∴方程在上只有一解
即：方程在上只有一解                9分
令則，因而等價于關于的方程
（*）在上只有一解                    10分
① 當時，解得，不合題意；                  11分
② 當時，記，其圖象的對稱軸
∴函數在上遞減，而
∴方程（*）在無解                               13分
③ 當時，記，其圖象的對稱軸
所以，只需，即，此恒成立
∴此時的范圍為                                  15分
綜上所述，所求的取值范圍為                         16分