Question

若不等式x²+2xy≤m（2x²+y²）對于一切正數x，y恒成立，則實數m的最小值為

 

．

Answer 1

分析：由題意可得：原不等式恒成立轉化為不等式（2m-1）x²-2xy+my²≥0對于一切正數x，y恒成立，即不等式（2m-1）(

x

y

)2-2•

x

y

+m≥0對于一切正數x，y恒成立，然后利用一元二次不等式恒成立的有關知識解決問題即可．

解答：解：由題意可得：不等式x²+2xy≤m（2x²+y²）對于一切正數x，y恒成立，
即不等式（2m-1）x²-2xy+my²≥0對于一切正數x，y恒成立，
即不等式（2m-1）(

x

y

)2-2•

x

y

+m≥0對于一切正數x，y恒成立，
設t=

x

y

，則有t＞0，
所以（2m-1）t²-2t+m≥0對于一切t∈（0，+∞）恒成立，
設f（t）=（2m-1）t²-2t+m，（t＞0），
①m=

1

2

時，顯然不符合題意，故舍去．
②當m≠

1

2

時，函數的對稱軸為t₀=

1

2m-1

，
所以由題意可得：

2m-1＞0 △=4-4(2m-1)m≤0

，解得m≥1．
故答案為1．

點評：本題考查的是不等式與恒成立的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現了恒成立的思想以及整體代換的技巧．