Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2cos（2x+

π

3

）+

3

（sinx+cosx）²．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）設(shè)A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，若cosB=

1

3

，f（

π

4

+

C

2

）=

3

2

，且C為銳角，求sinA的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得：f（x）=cos2x+

3

，所以函數(shù)f（x）的最大值為1+

3

，最小正周期π．
（Ⅱ）由（I）可得：f（

π

4

+

C

2

）=sinC+

3

=

3

2

，進(jìn)而求出C=

π

3

，由題意可得：cosB=

1

3

，所以 sinB=

2 2

3

，結(jié)合 sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得：
f（x）=2cos（2x+

π

3

）+

3

（sinx+cosx）²
=cos2x-

3

sin2x+

3

（1+sin2x）
=cos2x+

3

所以函數(shù)f（x）的最大值為1+

3

，最小正周期π．
（Ⅱ）由（I）可得：f（

π

4

+

C

2

）=cos（

π

2

+C）+

3

=-sinC+

3

=

3

2

，
所以sinC=

3

2

，
因?yàn)镃為銳角，所以C=

π

3

，
又因?yàn)樵凇鰽BC中，cosB=

1

3

，所以 sinB=

2 2

3

，
所以 sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=

2 2

3

×

1

2

+

1

3

×

3

2

=

2 2 + 3

6

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握二倍角公式與兩角和與差的正弦余弦公式，以及三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．