Question

已知負數a和正數b，令a₁=a，b₁=b，且對任意的正整數k，當

ak+bk

2

≥0時，有a_k+1=a_k，b_k+1=

ak+bk

2

；
當

ak+bk

2

＜0，有a_k+1=

ak+bk

2

，b_k+1=b_k．
（1）求b_n-a_n關于n的表達式；
（2）是否存在a，b，使得對任意的正整數n都有b_n＞b_n+1？請說明理由．
（3）若對任意的正整數n，都有b_2n-1＞b_2n，且b_2n=b_2n+1，求b_n的表達式．

Answer 1

分析：（1）通過計算轉化建立{b_n-a_n}的相鄰兩項之間的關系是解決本題的關鍵，發現該數列是等比數列，從而確定出通項公式；
（2）首先假設存在合題意的a，b，然后確定出b_n的關系式是解決本題的關鍵，通過分析其相鄰項之間的關系達到解決該題的目的；
（3）通過b_n的相應項之間的關系得到關于n的不等關系，利用加減項的方法確定出b_n的表達式是解決本題的關鍵，注意對項數奇偶的討論．

解答：解：（1）當

ak+bk

2

≥0時，b_k+1-a_k+1=

ak+bk

2

-a_k=

bk-ak

2

；
當

ak+bk

2

＜0，b_k+1-a_k+1=b_k-

ak+bk

2

=

bk-ak

2

．
所以，總有b_k+1-a_k+1=

1

2

（b_k-a_k），
因此，數列{b_n-a_n}是首項為b-a，公比為

1

2

的等比數列．
所以b_n-a_n=（b-a）（

1

2

）^n-1．
（2）假設存在a，b，對任意的正整數n都有b_n＞b_n+1，即a_n=a_n+1．
所以a_n=a_n-1=…=a₁=a，又b_n-a_n=（b-a）（

1

2

）^n-1，所以b_n=a+（b-a）（

1

2

）^n-1，
又

an+bn

2

≥0，即a+（b-a）（

1

2

）ⁿ≥0，即2ⁿ≤

a-b

a

，
因為

a-b

a

是常數，故2ⁿ≤

a-b

a

不可能對任意正整數n恒成立．
故不存在a，b，使得對任意的正整數n都有b_n＞b_n+1．
（3）由b _2n-1＞b_2n，可知a _2n-1=a_2n，b_2n=

a2n-1+b2n-1

2

，
所以b_2n=

a2n+b2n-1

2

，即b_2n-b _2n-1=-（b_2n-a_2n）=-（b-a）（

1

2

）^2n-1．
又b_2n=b _2n+1，故b _2n+1-b _2n-1=-（b_2n-a_2n）=-（b-a）（

1

2

）^2n-1．
∴b _2n-1=（b _2n-1-b _2n-3）+（b _2n-3-b _2n-5）+…+（b₃-b₁）+b₁
=（a-b）[（

1

2

）^2n-3+（

1

2

）^2n-5+…+（

1

2

）¹]+b=

2

3

（a-b）[1-（

1

4

）^n-1]+b．
當n為奇數時，令n=2m-1，可得b_n=b _2m-1=

2

3

（a-b）[1-（

1

4

）^m-1]+b=

2

3

（a-b）[1-（

1

2

）^n-1]+b，
當n為偶數時，可得b_n=b _n+1=

2

3

（a-b）[1-（

1

2

）ⁿ]+b，
故b_n=

2 3 (a-b)[1-( 1 2 )n-1]+b(n為奇數) 2 3 (a-b)[1-( 1 2 )n]+b(n為偶數)

．

點評：本題考查數列的綜合問題，考查數列的遞推關系與通項公式之間的關系，考查學生探究性問題的解決方法，注意體現轉化與化歸思想的運用，考查學生分析問題解決問題的能力和意識．