Question

【題目】如圖，直三棱柱中，側面是正方形， 側面， ，點是的中點.

（1）求證： //平面；

（2）若，垂足為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）如圖，連結， 交于，連結，可證為的中位線，所以，因為面， 面，所以平面.

（2）由已知底面，得底面，得， ，又，故， ， 兩兩垂直，分別以， ， 所在直線為軸， 為原點建立空間直角坐標系，分別求出平面平面的一個法向量和平面的一個法向量，根據二面角的平面角為銳角，即可求得二面角的余弦值.

試題解析：

（1）如圖，連結， 交于，連結，由是正方形，易得為的中點，從而為的中位線，所以，因為面， 面，所以平面.

（2）由已知底面，得底面，得， ，又，故， ， 兩兩垂直，

如圖，分別以， ， 所在直線為軸， 為原點建立空間直角坐標系，

設，則， ， ， ， ，

則， ， ，

設， ，則由，

得，即得，

于是，所以，

又，所以，解得，

所以， ， ，

設平面的法向量是，則，即，

令，得.

又平面的一個法向量為，則，即，

令，得，

設二面角的平面角為，則，

由，面面，可知為銳角，

即二面角的余弦值為.