Question

【題目】已知點，圓：，過點的動直線與圓相交于、兩點，線段的中點為，且在圓上．

（1）若直線（）經過點，求的最大值；

（2）求圓的方程；

（3）若過點的直線與圓相交于，兩點，線段的中點為．與：的交點為，求證：為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）由，利用基本不等式，求得，即可求得的最大值；（2）由圓的圓心為，半徑為，設設，得出，，利用由題設知，即可求解圓的方程；（3）設直線的方程為（），直線方程與圓的方程聯立，利用根與系數的關系，得出點的坐標，同理得出的坐標，即可求解為定值．

試題解析：（1）∵，∴，即，∴．

（2）圓的圓心為，半徑為5，

設，則，，

由題設知，∴，即，

∴的方程是．

（3）設直線的方程為（）．

由得，

又直線與垂直，

由得，

∴

（定值）．