Question

【題目】設橢圓C：（a＞b＞0）的右焦點為F，橢圓C上的兩點A，B關于原點對稱，且滿足，|FB|≤|FA|≤2|FB|，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ）

A.B.

C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

設橢圓左焦點為，由橢圓的對稱性可知且，可得四邊形AFBF′為矩形，設|AF′|＝n，|AF|＝m，根據橢圓的定義以及題意可知mn＝2b2 ，從而可求得的范圍，進而可求得離心率.

設橢圓左焦點為，由橢圓的對稱性可知，四邊形為平行四邊形，

又，即FA⊥FB，故平行四邊形AFBF′為矩形，所以|AB|＝|FF′|＝2c.

設|AF′|＝n，|AF|＝m，則在Rt△F′AF中，

m＋n＝2a ①，m2＋n2＝4c2 ②，

聯立①②得mn＝2b2 ③.

②÷③得，令＝t，得t＋.

又由|FB|≤|FA|≤2|FB|得＝t∈[1,2]，所以t＋∈.

故橢圓C的離心率的取值范圍是.

故選：A