Question

設b為常數，f（x）=|x²-1|+x²+bx（x∈R）
（1）當b=2時，求方程f（x）=0的解；
（2）若關于x的方程f（x）=0在（0，2）上有兩個解x₁，x₂，證明：

1

x1

+

1

x2

＜4．

Answer 1

分析：（1）b=2時，方程f（x）=0即：|x²-1|+x²+2x=0，分類討論：當x²-1≥0時，x²-1+x²+2x=0，當x²-1＜0時，-x²+1+x²+2x=0，分別解出方程的根，從而得出方程f（x）=0的解；
（2）若關于x的方程f（x）=0在（0，2）上有兩個解x₁，x₂，不妨設x₁＜x₂，如圖，結合圖形得到b的取值范圍，將

1

x1

+

1

x2

表示成b的函數，再利用函數的單調性即可證得．

解答：解：（1）b=2時，方程f（x）=0即：
|x²-1|+x²+2x=0，
當x²-1≥0時，x²-1+x²+2x=0，解得：x=

-1- 3

2

；
當x²-1＜0時，-x²+1+x²+2x=0，解得：x=-

1

2

；
∴方程f（x）=0的解為：x=

-1- 3

2

；或x=-

1

2

；
（2）若關于x的方程f（x）=0在（0，2）上有兩個解x₁，x₂，
不妨設x₁＜x₂，如圖，
類似于（1）得：x₁=-

1

b

，x₂=

-b+ b 2+8

4

，
且-

7

2

＜b＜-1．
則

1

x1

+

1

x2

=-b+

4

-b+ b 2+8

=-b+

b+ b 2+8

2

=

-b+ b 2+8

2

，
它在區間（-

7

2

，-1）上是減函數，
∴

-b+ b 2+8

2

＜

7 2 + (- 7 2 )2+8

2

=4，
∴

1

x1

+

1

x2

＜4．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、根與系數的關系、帶絕對值的函數等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．