Question

已知定點，動點P滿足條件：，點P的軌跡是曲線E，直線l：y=kx-1與曲線E交于A、B兩點．如果．
（Ⅰ）求直線l的方程；
（Ⅱ）若曲線E上存在點C，使，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知，點P的軌跡是以為焦點，的雙曲線的左支，從而寫出曲線E的方程，再設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把y=kx-1代入雙曲線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得k值，從而解決問題．
（Ⅱ）先設C（x，y），由已知條件中向量關系得到點C的坐標用m來表示的式子，將點C（x，y）的坐標代入雙曲線方程求得m的值即可．
解答：解：（Ⅰ）∵
∴點P的軌跡是以為焦點，的雙曲線的左支，
∴曲線E的方程為x²-y²=1（x＜-1）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把y=kx-1代入x²-y²=1消去y得（1-k²）x²+2kx-2=0
∴
∴
兩邊平方整理得28k⁴-55k²+25=0，
∴（∵）
∴
故直線方程為．
（Ⅱ）設C（x，y），由已知，得（x₁+x₂，y₁+y₂）=（mx，my）
∴
∴
∴
將點C（x，y）的坐標代入x²-y²=1得．
∴m=4或m=-4（舍去）．
點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、雙曲線定義的應用等基礎知識，考查運算求解能力． 當直線與圓錐曲線相交時，涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長（即應用弦長公式）．