Question

設f(x)=x²-x+a(a∈R),

(1)若f(x)=0的兩個實根α、β滿足|α|+|β|=2,求α的值;

(2)b∈R,若|x-b|＜1,求證:|f(x)-f(b)|＜2(|b|+1).

Answer 1

(1)解析:∵Δ=1-4a≥0,∴a≤.

又∵α+β=1,|α|+|β|=2,

∴α、β異號,|α-β|=|α|+|β|=2,即=2.

∴=2.∴a=-.

(2)證明:|f(x)-f(b)|=|x²-x-b²+b|=|x-b|·|x+b-1|＜|x+b-1|=|(x-b)+(2b-1)|＜1+|2b-1|≤2+2|b|=2(|b|+1).