Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

3

sinxcosx+cos2x+a．
（Ⅰ）寫出函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

3

]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值與最小值的和為

3

2

，求f（x）的解析式；
（Ⅲ）將滿足（Ⅱ）的函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

12

個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再向下平移

1

2

，得到函數(shù)g（x），求g（x）圖象與x軸的正半軸、直線x=

π

2

所圍成圖形的面積．

Answer 1

分析：（I）利用和差角公式，可將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)的形式，根據(jù)ω可得函數(shù)的周期，將相位角代入正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，求出x的范圍，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間
（II）由x的范圍，可求出相位角的范圍，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可求出函數(shù)的最值，進(jìn)而得到a值，求出函數(shù)的解析式
（III）根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換法則，伸縮變換法則，求出g（x）的解析式，代入積分公式，可得g（x）圖象與x軸的正半軸、直線x=

π

2

所圍成圖形的面積．

解答：解（Ⅰ）函數(shù)f(x)=

3

sinxcosx+cos2x+a=

3

2

sin2x+

1+cosx

2

+a=sin（2x+

π

6

）+a+

1

2

．
∵ω=2，
∴T=π
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，（k∈Z），
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，（k∈Z）．
（II）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]
∴當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

3

]時(shí)，原函數(shù)的最大值與最小值的和-

1

2

+a+

1

2

+1+a+

1

2

=

3

2

，
解得：a=0
∴f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

（3）將滿足（Ⅱ）的函數(shù)f（x）sin（2x+

π

6

）+

1

2

的圖象向右平移

π

12

個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再向下平移

1

2

，得到函數(shù)g（x）=sinx的圖象
∵

∫

π 2 0

sinxdx=-cosx

|

π 2 0

=1，即g（x）圖象與x軸的正半軸、直線x=

π

2

所圍成圖形的面積為1

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的化簡，三角函數(shù)的周期性，單調(diào)性，最值，及函數(shù)圖象的變換，是三角函數(shù)問題的綜合應(yīng)用，難度中檔．