Question

【題目】焦點在x軸上的橢圓C：經過點，橢圓C的離心率為．，是橢圓的左、右焦點，P為橢圓上任意點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若點M為的中點（O為坐標原點），過M且平行于OP的直線l交橢圓C于A，B兩點，是否存在實數，使得；若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在滿足條件,詳見解析

【解析】

（1）根據所給條件列出方程組，求解即可。

（2）對直線的斜率存在與否分類討論，當斜率存在時，設直線的方程為，，，聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理，即可表示出、、，則可求。

解：（1）由已知可得，解得，，

所以橢圓的標準方程為．

（2）若直線的斜率不存在時，，，

所以；

當斜率存在時，設直線的方程為，，．

聯立直線與橢圓方程，消去y，得，

所以．

因為，設直線的方程為，

聯立直線與橢圓方程，消去，得，解得．

，

，

同理，，

因為，

，故，存在滿足條件，

綜上可得，存在滿足條件．