Question

已知離心率為

3

2

的橢圓C₁的頂點A₁，A₂恰好是雙曲線

x2

3

-y2=1的左右焦點，點P是橢圓上不同于A₁，A₂的任意一點，設直線PA₁，PA₂的斜率分別為k₁，k₂．
（Ⅰ）求橢圓C₁的標準方程；
（Ⅱ）試判斷k₁•k₂的值是否與點P的位置有關，并證明你的結論；
（Ⅲ）當k1=

1

2

時，圓C₂：x²+y²-2mx=0被直線PA₂截得弦長為

4 5

5

，求實數m的值．
設計意圖：考察直線上兩點的斜率公式、直線與圓相交、垂徑定理、雙曲線與橢圓的幾何性質等知識，考察學生用待定系數法求橢圓方程等解析幾何的基本思想與運算能力、探究能力和推理能力．第（Ⅱ）改編自人教社選修2-1教材P39例3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用橢圓C₁的頂點A₁，A₂恰好是雙曲線

x2

3

-y2=1的左右焦點求出頂點A₁，A₂的坐標，再利用離心率為

3

2

即可求橢圓C₁的標準方程；
（Ⅱ）直接利用兩點坐標求出k₁•k₂的值即可判斷k₁•k₂的值是否與點P的位置有關；
（Ⅲ）先利用（Ⅱ）的結論求出直線PA₂的方程，再利用圓心到直線的距離以及弦長和半徑之間的關系即可求實數m的值．

解答：解：（Ⅰ）雙曲線

x2

3

-y2=1的左右焦點為（±2，0）
即A₁，A₂的坐標分別為（-2，0），（2，0）．（1分）
所以設橢圓C₁的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則a=2，（2分）
且e=

c

a

=

3

2

，所以c=

3

，從而b²=a²-c²=1，（4分）
所以橢圓C₁的標準方程為

x2

4

+

y2

1

=1．（5分）

（Ⅱ）設P（x₀，y₀）則

x02

4

+

y02

1

=1，即y02=1-

x02

4

=

4-x02

4

（6分）
k1•k2=

y0-0

x0-(-2)

•

y0-0

x0-2

=

y02

x02-4

=-

1

4

．（8分）
所以k₁•k₂的值與點P的位置無關，恒為-

1

4

． （9分）

（Ⅲ）由圓C₂：x²+y²-2mx=0得（x-m）²+y²=m²，
其圓心為C₂（m，0），半徑為|m|，（10分）
由（Ⅱ）知當k1=

1

2

時，k2=-

1

2

，
故直線PA₂的方程為y=-

1

2

(x-2)即x+2y-2=0，（11分）
所以圓心為C₂（m，0）到直線PA₂的距離為d=

|m+2×0-2|

12+22

=

|m-2|

5

，
又由已知圓C₂：x²+y²-2mx=0被直線PA₂截得弦長為

4 5

5

及垂徑定理得
圓心C₂（m，0）到直線PA₂的距離d=

m2-( 2 5 5 )2

，
所以

m2-( 2 5 5 )2

=

|m-2|

5

，即m²+m-2=0，解得m=-2或m=1．（13分）
所以實數m的值為1或-2．（14分）．

點評：本題主要考查直線上兩點的斜率公式、直線與圓相交、垂徑定理、雙曲線與橢圓的幾何性質等知識，考查學生用待定系數法求橢圓方程等解析幾何的基本思想與運算能力、探究能力和推理能力．