Question

【題目】如圖，A、B兩地相距100公里，兩地政府為提升城市的抗疫能力，決定在A、B之間選址P點建造儲備倉庫，共享民生物資，當點P在線段AB的中點C時，建造費用為2000萬元，若點P在線段AC上（不含點A），則建造費用與P、A之間的距離成反比，若點P在線段CB上（不含點B），則建造費用與P、B之間的距離成反比，現假設P、A之間的距離為x千米，A地所需該物資每年的運輸費用為萬元，B地所需該物資每年的運輸費用為萬元，表示建造倉庫費用，表示兩地物資每年的運輸總費用（單位:萬元）．

（1）求函數的解析式;

（2）若規劃倉庫使用的年限為，，求的最小值，并解釋其實際意義．

Answer 1

【答案】（1）當，；當，；（2），見解析

【解析】

（1）由題意，設f（x）＝，由f（50）＝2000，求得k1與k2的值，則函數解析式可求；
（2）求出g（x）＝2.5x+0.5（100﹣x）＝2x+50，然后分段寫出H（x），求導后再對n分類求解H（x）的最小值，并解釋其實際意義.

解：（1）由題意，設f（x）＝，

由f（50）＝2000，求得k1＝k2＝100000.

∴f（x）＝；

（2）g（x）＝2.5x+0.5（100﹣x）＝2x+50，

若0＜x≤50，則H（x）＝f（x）+ng（x）＝，

H′（x）＝，由H′（x）＝0，得x＝100，

若n∈N*且n≤20，則H（x）在（0，50]上單調遞減，H（x）min＝H（50）＝2000+150n；

若n∈N*且n＞20，則H（x）在（0，100）上單調遞減，在（100，50）單調遞增，

∴；

若50＜x＜100，則H（x）＝f（x）+ng（x）＝，

H′（x）＝＞0，H（x）在（50，100）上單調遞增，

若n∈N*且n≤20，則H（x）＞2000+150n；

若n∈N*且n＞20，則H（x）＞50n+.

綜上，若n∈N*且n≤20，則H（x）min＝2000+150n；

若n∈N*且n＞20，則.

實際意義：建造儲備倉庫并使用n年，花費在建造倉庫和兩地物資運輸總費用的最小值.