Question

下列等式：
①

C

1n

+

2C

2n

+

3C

3n

+…+

nC

nn

=n•2^n-1
②

C

1n

-

2C

2n

+

3C

3n

+…+(-1)n-1

nC

nn

=0
③l×l!+2×2!+3×3!+…+n×n!=（n+1）!-1
④

C 0n C

nn

+

C 1n C

n-1n

+

C 2n C

n-2n

+…+

C nn C

nn

=

(2n)!

n!×n!

其中正確的個數為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

∵（1+x）ⁿ=1+

C

1n

x+

C

2n

x²+…+

C

nn

xⁿ，兩邊同時對x求導數，可得
n（1+x）^n-1=

C

1n

+2x

C

2n

+3x²

C

3n

+…+nx^n-1

C

nn

，（A）
再令x=1，可得n2^n-1=

C

1n

+2

C

2n

+3

C

3n

+…+n

C

nn

，故①正確．
在（A）式中，令x=-1，可得0=

C

1n

+2

C

2n

+3

C

3n

+…+n

C

nn

，故②正確．
∵k•k!=[（k+1）-1]•k!=（k+1）!-k!，
∴1×1!+2×2!+3×3!+…+n•n!=[2!-1!]+[3!-2!]+[4!-3!]+…+[（n+1）!-n!]=（n+1）!-1，
故③正確．
∵等式（1+x）ⁿ•（1+x）ⁿ=（1+x）²ⁿ成立，
利用二項式定理可得等式左邊xⁿ的系數為

C 0n C

nn

+

C 1n C

n-1n

+

C 2n C

n-2n

+…+

C

nn

•

C

0n

=

(C

0n

)2+

(C

1n

)2+

(C

2n

)2+…+

(C

nn

)2．
而等式右邊利用二項式定理可得xⁿ的系數為

C

n2n

=

(2n)!

(2n-n)!•n!

=

(2n)!

n!•n!

，
故

C 0n C

nn

+

C 1n C

n-1n

+

C 2n C

n-2n

+…+

C nn C

nn

=

(2n)!

n!×n!

成立，
故④正確．
故選D．