Question

【題目】如圖，已知正三棱錐P﹣ABC的底面邊長為4，側棱長為8，E，F分別為PB，PC上的動點，求截面△AEF周長的最小值，并求出此時三棱錐P﹣AEF的體積．

Answer 1

【答案】解：如圖，沿棱AB，AC，PA剪開，得到正三棱錐的側面展開圖，
則AA1的長為△BEF的周長的最小值．
由平面幾何知識可證△PAE≌△PA1F，于是PE=PF，
又PB=PC，故EF∥BC．
∵∠ABE=∠PBC，∠AEB=∠PCB，
∴△ABE∽△PBC，
∴ ，
∴BE=2，
AE=A1F=4，PE=8﹣2=6．
由EF∥BC，有 ，
∴ ，
∴AA1=AE+EF+A1F=4+3+4=11，
∴△AEF周長的最小值是11，此時 ，即E，F分別在PB，PC的四等分點處．
取BC中點G，連AG、PG，過P作PO⊥AG，垂足為O，則PO⊥平面ABC，
過A作AH⊥PG，垂足為H，則AH⊥平面PBC．
在Rt△PAO中，OA= ，
在Rt△PBG中，PG= ，又 ，
由等積原理可得， ，
由于E、F是PB、PC的四等分點，
∴S△PEF= ，
∴ = ．


【解析】沿棱AB、AC、PA剪開，得到正三棱錐的側面展開圖，在平面圖形中，利用平面幾何知識可得EF∥BC，再由△ABE∽△PBC，結合相似三角形對應邊成比例及平行線截線段成比例定理求得截面△AEF周長的最小值；由△AEF周長取最小值時E，F分別在PB，PC的四等分點處．可得三角形PEF面積與三角形PBC面積的關系，再求出A到側面PBC的距離，利用等積法可得三棱錐P﹣AEF的體積．