Question

（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐，底面為菱形，⊥平面，，、分別是、的中點。
（Ⅰ）證明：⊥；
（Ⅱ）若為上的動點，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值。

Answer 1

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（Ⅰ）證明：由四邊形為菱形，，
可得為正三角形。因為為的中點，所以。 …………1分
又∥，因此。…………………………………………………2分
因為平面，平面，所以。 ………3分
而，所以平面。 ………………………………4分
又平面，所以。 ……………………………………5分
（Ⅱ）解：設，為上任意一點，連接、
由（Ⅰ）可知：平面，
則為與平面所成的角。……………………………………………6分
在中，，
所以當最短時，最大， ………………………………………………7分
即當時，最大，此時。           
因此。又，所以，于是。 ……………………8分
因為⊥平面，平面，
所以平面平面。  …………………………………………9分
過作于，則由面面垂直的性質定理可知：平面，
過作于，連接，
則由三垂線定理可知：為二面角的平面角。  ……………………10分
在中，，
又是的中點，在中，            
又  ………………………………11分
在中， 
即二面角的余弦值為。  ………………………………12分