Question

設M=10a²+81a+207，P=a+2，Q=26-2a；若將lgM，lgQ，lgP適當排序后可構成公差為1的等差數列{a_n}的前三項．
（1）試比較M、P、Q的大小；
（2）求a的值及{a_n}的通項；
（3）記函數f（x）=a_nx²+2a_n+1x+a_n+2（n∈N*）的圖象在x軸上截得的線段長為b_n，設T_n=

1

4

(b1b2+b2b3+…+bn-1bn）（n≥2），求T_n，并證明T₂T₃T₄…T_n＞

2n-1

n

．

Answer 1

分析：（1）由M＞0，P＞0，Q＞0可求得a的范圍，作差后通過分類討論可比較它們間的大小關系；
（2）由（1）的結論及lgM，lgQ，lgP成公差為1的等差數列可得a值，根據等差數列的通項公式可得a_n；
（3）設f（x）與x軸交點為（x₁，0），（x₂，0），由2a_n+1=a_n+a_n+2，知-1為f（x）的一個零點，從而f（x）=（x+1）（a_nx+a_n+2）=0，可得x₁，x₂，進而可得b_n，利用裂項相消法可得T_n，由Tn=

n-1

(1-2lg2)(n-2lg2)

＞

n-1

1 2 n

=

2(n-1)

n

，可對T₂T₃T₄…T_n進行放縮得到結論；

解答：解：（1）由

M=10a2+81a+207＞0 P=a+2＞0 Q=26-2a＞0

，得-2＜a＜13，
∵M-Q=10a²+83a+181＞0（∵△₁＜0），M-P=10a²+80a+205＞0（∵△₂＜0），∴M＞Q，M＞P，
又∵當-2＜a＜13時，P-Q=-24+3a，
則當-2＜a＜8時，P＜Q，此時P＜Q＜M，
當a=8時，P=Q，此時P=Q＜M，
當8＜a＜13時，P＞Q，此時Q＜P＜M；
（2）由（1）知，當-2＜a＜8時，

lgP+1=lgQ lgM=1+lgQ

即

10P=Q M=10Q

，∴

26-2a=10(a+2) 10a2+81a+207=10(26-2a)

，
解得a=

1

2

，從而a_n=lgP+（n-1）×1=n-2lg2；
當8＜a＜13時，

lgQ+1=lgP lgM=1+lgP

即

P=10Q M=10P

，∴

a+2=10(26-2a) 10a2+81a+207=10(a+2)

，a無解．
綜上，a=

1

2

，a_n=n-2lg2；
（3）設f（x）與x軸交點為（x₁，0），（x₂，0），
∵2a_n+1=a_n+a_n+2，∴-1為f（x）的一個零點，
∴當f（x）=0時有（x+1）（a_nx+a_n+2）=0，∴x1=-1， x2=-

an+2

an

=-

an+2

an

，
∴bn=|x1-x2|=|-1+

an+2

an

|=

2

|an|

，
又∵a_n=n-2lg2＞0，∴bn=

2

an

，
∴bn-1bn=

2

an-1

×

2

an

=4(

1

an-1

-

1

an

)，
∴Tn=

1

4

×4[(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…+(

1

an-1

-

1

an

)]=

1

a1

-

1

an

=

1

1-2lg2

-

1

n-2lg2

=

n-1

(1-2lg2)(n-2lg2)

，
又Tn=

n-1

(1-2lg2)(n-2lg2)

＞

n-1

1 2 n

=

2(n-1)

n

，
∴T2T3T4…Tn＞

2

2

•

2•2

3

•

2•3

4

•

2•4

5

…

2(n-1)

n

=

2n-1

n

．

點評：本題考查數列與不等式的綜合、等差數列的通項公式，考查不等式的證明，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，綜合性強，運算量大．