Question

由下面四個圖形中的點數分別給出了四個數列的前四項，將每個圖形的層數增加可得到這四個數列的后繼項，按圖中多邊形的邊數依次稱這些數列為“三角形數列”、“四邊形數列”…，將構圖邊數增加到n可得到“n邊形數列”，記它的第r項為P（n，r），則
（1）使得P（3，r）＞36的最小r的取值是    ；
（2）試推導P（n，r）關于，n、r的解析式是    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得P（3，r）=，解不等式可得最小r的取值；
（2）設n邊形數列所對應的圖形中第r層的點數為a₁，則P（n，r）=a₁+a₂+…+a_r，進而由等差數列的前n項和公式，可得答案．
解答：解：（1）由題意得：P（3，r）=
令＞36
即r²+r-72＞0，
解得r＞8
∴最小的r=9．
（2）設n邊形數列所對應的圖形中第r層的點數為a₁，
則P（n，r）=a₁+a₂+…+a_r，
從圖中可以得出：后一層的點在n-2條邊上增加了一點，兩條邊上的點數不變，
所以a_r+1-a_r=n-2，a₁=1
所以{a_r}是首項為1公差為n-2的等差數列，
所以P（n，r）=r+
故答案為：9，
點評：本題考查等差數列的基本知識，遞推數列的通項公式的求解等基本方法，考察抽象概括能力以及推理論證能力．