Question

（本小題滿分12分）
如圖，正三棱柱的所有棱長都為
，為中點．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求點到平面的距離．

Answer 1

（Ⅰ）平面
（Ⅱ）二面角的大小為
（Ⅲ）點到平面的距離為

解法一：（Ⅰ）取中點，連結．
為正三角形，．
正三棱柱中，平面平面，
平面．
連結，在正方形中，分別為
的中點，
，
．
在正方形中，，
平面．
（Ⅱ）設與交于點，在平面中，作于，連結，由（Ⅰ）得平面．
，
為二面角的平面角．
在中，由等面積法可求得，
又，
．
所以二面角的大小為．
（Ⅲ）中，，．
在正三棱柱中，到平面的距離為．
設點到平面的距離為．
由得，
．
點到平面的距離為．
解法二：（Ⅰ）取中點，連結．
為正三角形，．
在正三棱柱中，平面平面，
平面．
取中點，以為原點，，，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，
，，．
，，
，．
平面．
（Ⅱ）設平面的法向量為．
，．
，，

令得為平面的一個法向量．
由（Ⅰ）知平面，
為平面的法向量．
，．
二面角的大小為．
（Ⅲ）由（Ⅱ），為平面法向量，
．
點到平面的距離