Question

數列的前項和為，．
（Ⅰ）設，證明：數列是等比數列；
（Ⅱ）求數列的前項和.
（Ⅲ）若，，求不超過的最大的整數值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）。

解析試題分析：（Ⅰ）利用遞推式相減后，構造等比數列進行證明；（Ⅱ）利用錯位相減法求解；（Ⅲ）借助第一問的結論，確定數列的通項公式，進而采用裂項相消法求解P，進而利用放縮求不超過的最大的整數值.
試題解析：（Ⅰ）因為，
所以 ① 當時，，則，            1分
② 當時，，        2分
所以，即，
所以，而，        3分
所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以．     4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
所以 ①，
②，     6分
②-①得：，     7分
.      9分
（Ⅲ）由(1)知        10分
，   12分
所以
，
故不超過的最大整數為．                 13分
考點：1.等比數列的證明；2.數列求和。