Question

已知函數(shù)，其中且.
（1）求證：函數(shù)在點(diǎn)處的切線與總有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是．

試題分析：（1）求證：函數(shù)在點(diǎn)處的切線與總有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，先求出函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程，因此對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，從而得，再求出，由點(diǎn)斜式即可得切線方程，證切線與總有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不同的解，即有兩個(gè)不同的解，由已知，故方程存在兩解，既得證．（2）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，只需在區(qū)間上有且僅有一個(gè)解，且在解的兩邊異號(hào)，而是二次函數(shù)，故只需，即可求出的取值范圍．
（1）由已知可得.    1分
，                                  2分
又，在處的切線方程為.                       4分
令，整理得.或，          5分
  ，                                                     6分
與切線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).                                         7分
（2）在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，
在上有且僅有一個(gè)異號(hào)零點(diǎn)，                              9分
由二次函數(shù)圖象性質(zhì)可得，                                     10分
即，解得或，                              12分
綜上，的取值范圍是.                                         13分