Question

已知函數f(x)=

1- 1 x    x≥1 1 x -1   0＜x＜1.

（I）當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，求

1

a

+

1

b

的值；
（II）是否存在實數a，b（a＜b），使得函數y=f（x）的定義域、值域都是[a，b]，若存在，則求出a，b的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由f（x）在（0，1）上為減函數，在（1，+∞）上是增函數．0＜a＜b，且f（a）=f（b），推得0＜a＜1＜b，
  從而分別求得f（a），f（b），根據其關系得到結論．
（II）先假設存在滿足條件的實數a，b，由于f（x）是分段函數，則分當a，b∈（0，1）2時，a，b∈[1，+∞）
   a∈（0，1），b∈[1，+∞）時三種情況分析．

解答：解：（I）∵f(x)=

1- 1 x ，x≥1 1 x -1 ，0＜x＜1.

∴f（x）在（0，1）上為減函數，在（1，+∞）上是增函數．
由0＜a＜b，且f（a）=f（b），可得0＜a＜1＜b且

1

a

-1=1-

1

b

．所以

1

a

+

1

b

=2．
（II）不存在滿足條件的實數a，b．
若存在滿足條件的實數a，b，則0＜a＜b
當a，b∈（0，1）時，f(x)=

1

x

-1在（0，1）上為減函數．
故

f(a)=b f(b)=a.

即

1 a -1=b 1 b -1=a.

解得a=b．
故此時不存在適合條件的實數a，b．
當a，b∈[1，+∞）時，f(x)=1-

1

x

在（1，+∞）上是增函數．
故

f(a)=a f(b)=b.

即

1- 1 a =a 1- 1 b =b.

此時a，b是方程x²-x+1=0的根，此方程無實根．
故此時不存在適合條件的實數a，b．
當a∈（0，1），b∈[1，+∞）時，由于1∈[a，b]，而f（1）=0∉[a，b]，
故此時不存在適合條件的實數a，b．
綜上可知，不存在適合條件的實數a，b．

點評：本題主要考查分段函數在的單調性、定義域和值域，同時還考查學生的分類討論解決問題的能力．