Question

【題目】已知，且，向量，，，， ．

（1）求函數的解析式，并求當時，的單調遞增區間；

（2）當，時，的最大值為5，求的值；

（3）當時，若不等式在，上恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f（x）＝2asin（2x），單調遞增區間為[kπ，kπ]（k∈Z）；（2）a＝﹣5或a．（3）（0，1）．

【解析】

（1）化簡f（x）＝2asin（2x），再利用三角函數性質求單調區間；

（2）討論a的正負，確定最大值，求得a；

（3）化簡不等式，轉化恒成立問題為函數的最值問題，即可求解．

（1）f（x）2acos2xasin2x﹣a

＝2asin（2x），

∵a＞0，

∴2kπ2x2kπ（k∈Z）

∴函數f（x）的單調遞增區間為[kπ，kπ]（k∈Z）

（2）f（x）＝2asin（2x），

當x∈[0，]時，2x∈[，]；

若a＞0，2a＝5，則a；

若a＜0，﹣a＝5，則a＝﹣5；

綜上所述，a＝﹣5或a．

（3）∵|f（x）﹣m|＜2在x∈[0，]上恒成立，

∴f（x）﹣2＜m＜f（x）+2，x∈[0，]上恒成立，

∴f（x）max﹣2＜m＜f（x）min+2，x∈[0，]

∵f（x）＝2sin（2x）在[0，]上的最大值為2，最小值為﹣1．

∴0＜m＜1．

即實數m的取值范圍為（0，1）．