Question

已知點P是直角坐標平面內的動點，點P到直線l₁：x=-2的距離為d₁，到點F（-1，0）的距離為d₂，且

d2

d1

=

2

2

．
（1）求動點P所在曲線C的方程；
（2）直線l過點F且與曲線C交于不同兩點A、B（點A或B不在x軸上），分別過A、B點作直線l₁：x=-2的垂線，對應的垂足分別為M、N，試判斷點F與以線段MN為直徑的圓的位置關系（指在圓內、圓上、圓外等情況）；
（3）記S₁=S_△FAM，S₂=S_△FMN，S₃=S_△FBN（A、B、M、N是（2）中的點），問是否存在實數λ，使S₂²=λS₁S₃成立．若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．
進一步思考問題：若上述問題中直線l1：x=-

a2

c

、點F（-c，0）、曲線C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，c=

a2-b2

)，則使等式S₂²=λS₁S₃成立的λ的值仍保持不變．請給出你的判斷

 

 （填寫“不正確”或“正確”）（限于時間，這里不需要舉反例，或證明）．

Answer 1

分析：（1）設動點為P（x，y），依據題意，有

(x+1)2+y2

|x+2|

=

2

2

，由此能求出動點P所在曲線C的方程．
（2）點F在以MN為直徑的圓的外部．理由：由題意可知，當過點F的直線l的斜率為0時，不合題意，故可設直線l：x=my-1，聯立方程組

x2 2 +y2=1 x=my-1

，可化為（2+m²）y²-2my-1=0，則點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐標滿足

y1+y2= 2m 2+m2 y1y2=- 1 2+m2

．由此能推導出∠MFN為銳角，即點F在以MN為直徑的圓的外部．
（3）由x1+x2=m(y1+y2)-2=-

4

2+m2

，x1x2=(my1-1)(my2-1)=

2-2m2

2+m2

，知S1S3=

1

2

(x1+2)|y1|•

1

2

(x2+2)|y2|=

1

4

•

1

2+m2

[x1x2+2(x1+x2)+4]=

1

2

1+m2

(2+m2)2

，

S

2 2

=(

1

2

|y1-y2|•1)2=

1

4

[(y1+y2)2-4y1y2]=2

1+m2

(2+m2)2

．由此知存在實數λ=4使得結論成立．

解答：解：（1）設動點為P（x，y），（1分）
依據題意，有

(x+1)2+y2

|x+2|

=

2

2

，化簡得

x2

2

+y2=1．（3分）　因此，動點P所在曲線C的方程是：

x2

2

+y2=1．（4分）
（2）點F在以MN為直徑的圓的外部．
理由：由題意可知，當過點F的直線l的斜率為0時，不合題意，故可設直線l：x=my-1，
如圖所示．（5分）
聯立方程組

x2 2 +y2=1 x=my-1

，可化為（2+m²）y²-2my-1=0，
則點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐標滿足

y1+y2= 2m 2+m2 y1y2=- 1 2+m2

．（7分）
又AM⊥l₁、BN⊥l₁，可得點M（-2，y₁）、N（-2，y₂）．
點與圓的位置關系，可以比較點到圓心的距離與半徑的大小來判斷，也可以計算點與直徑形成的張角是銳角、直角、鈍角來加以判斷．
因

FM

=(-1，y1)，

FN

=(-1，y2)，則

FM

•

FN

=(-1，y1)•(-1，y2)=1+y1y2=

1+m2

2+m2

＞0．（9分）
于是，∠MFN為銳角，即點F在以MN為直徑的圓的外部．（10分）
（3）依據（2）可算出x1+x2=m(y1+y2)-2=-

4

2+m2

，x1x2=(my1-1)(my2-1)=

2-2m2

2+m2

，
則S1S3=

1

2

(x1+2)|y1|•

1

2

(x2+2)|y2|=

1

4

•

1

2+m2

[x1x2+2(x1+x2)+4]=

1

2

1+m2

(2+m2)2

，

S

2 2

=(

1

2

|y1-y2|•1)2=

1

4

[(y1+y2)2-4y1y2]=2

1+m2

(2+m2)2

．（14分）
所以，S₂²=4S₁S₃，即存在實數λ=4使得結論成立．（15分）
對進一步思考問題的判斷：正確．（18分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．