Question

點P在曲線y=x3-x+

2

3

上移動時，過點P的切線的傾斜角的取值范圍是（　　）

• A．[0，π）
• B．(0，

  π

  2

  )∪[

  3π

  4

  ，π)
• C．[0，

  π

  2

  )∪(

  π

  2

  ，

  3π

  4

  ]
• D．[0，

  π

  2

  )∪[

  3π

  4

  ，π)

Answer 1

分析：根據導數的幾何意義可知切線的斜率即為該點處的導數，再根據導數的取值范圍求出斜率的范圍，最后再根據斜率與傾斜角之間的關系k=tanα，求出α的范圍即可．

解答：解：設點P處切線的傾斜角為α，
∵tanα=3x²-1，
∴tanα∈[-1，+∞）．
當tanα∈[0，+∞）時，α∈[0，

π

2

）；
當tanα∈[-1，0）時，α∈[

3π

4

，π）．
∴α∈[0，

π

2

）∪[

3π

4

，π）．
故選D．

點評：此題考查了利用導數研究曲線上某點切線的方程，直線傾斜角與斜率的關系，以及正切函數的圖象與性質．要求學生掌握導函數在某點的函數值即為過這點切線方程的斜率，且直線的斜率為傾斜角的正切值，掌握正切函數的圖象與性質．