Question

如圖，點P為斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱BB₁上一點，PM⊥BB₁交AA₁于點M，PN⊥BB₁交CC₁于點N．
（1）求證：CC₁⊥MN；
（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE²=DF²+EF²-2DF•EFcos∠DFE．拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側面面積與其中兩個側面所成的二面角之間的關系式，并予以證明．

Answer 1

分析：（1）由題意和三棱柱的性質，證出 CC₁⊥平面PMN，再證 CC₁⊥MN．
（2）利用類比推理邊“對應側面面積”得出結論，證明用到余弦定理平行四邊形的面積公式和題中的垂直關系．

解答：（1）證：由題意知，CC₁∥BB₁，PM⊥BB₁，PN⊥BB₁，
∴CC₁⊥PM，CC₁⊥PN，且PM∩PN=P，
∴CC₁⊥平面PMN，MN?平面PMN，
∴CC₁⊥MN；
（2）解：在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，有

S

2 ABB1A1

=

S

2 BCC1B1

+

S

2 ACC1A1

-2

S

BCC1B1

•

S

ACC1A1

cosα，
其中α為平面CC₁B₁B與平面CC₁A₁A所組成的二面角．
∵CC₁⊥平面PMN，∴上述的二面角為∠MNP，
在△PMN中，PM²=PN²+MN²-2PN•MNcos∠MNP
∴PM²•Cc₁²=PN²•Cc₁²+MN²•Cc₁²-2（PN•Cc₁）•（MN•Cc₁）cos∠MNP，
∵SBCC1B1=PN•CC₁，SACC1A1=MN•CC₁，SABB1A1=PM•BB₁，
∴

S

2 ABB1A1

=

S

2 BCC1B1

+

S

2 ACC1A1

-2

S

BCC1B1

•

S

ACC1A1

cosα
其中α為平面CC₁B₁B與平面CC₁A₁A所組成的二面角．

點評：本題考查線面垂直關系的相互轉化，還考查了類比推理，證明結論時利用余弦定理，加上適當的變形證出結論．