Question

已知拋物線C：y²＝4x，F為其焦點，

(1)若過焦點F且斜率為1的直線與拋物線C交于A、B兩點，求弦AB的長；

(2)若過點M(2，1)的一條直線交拋物線C于P、Q兩點，且PQ被M平分，求這條直線的方程；

(3)設點R、S是拋物線C上原點O以外的兩個動點，且OR⊥OS，若作ON⊥RS，垂足為N，求點N的軌跡方程，并說明它表示什么曲線．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵點F(1，0)，…………1分 　　∴直線AB的方程為y＝x－1，…………2分 　　將其代入得x2－6x＋1＝0…………3分 　　設A(x1，y1)，B(x2，y2) 　　∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝6＋2＝8…………4分 　　(2)顯然直線PQ的斜率存在，設其為k，則PQ的方程為y－1＝k(x－2)，將其代入得k2x2－(4k2－2k＋4)x＋(1－2k)2＝0…………5分 　　則∵，…………6分 　　∴k＝2，而此時方程有根．∴直線方程為y－1＝2(x－2)即2x－y－3＝0……7分 　　(3)解：(1)設R(x1，y1)，S(x2，y2)，則y12＝2px1，y22＝2px2， 　　∴y12y22＝4p2x1x2， 　　∵OR^ OS，∴x1x2＋y1y2＝0，…………8分 　　由此即可解得：y1y2＝─16 　　∵直線AB的斜率k＝＝＝， 　　∴直線AB的方程為y─y1＝(x─)， 　　即y(y1＋y2)─y1y2＝4x，由(1)可得y＝(x─4)， 　　∴直線RS過定點M(4，0)．…………9分 　　又∵RS^ ON，知點N的軌跡是以原點和點(4，0)為直徑的圓(除去原點)．立即可求出方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)…………10分