Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長為2，側棱長為，D為A₁C₁中點．
（Ⅰ）求證；BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅱ）三棱錐B-AB₁D的體積．

Answer 1

解：（Ⅰ）連結A₁B與AB₁交于E，連結DE，則E為A₁B的中點，故DE為△A₁BC₁的中位線，∴BC₁∥DE．
又DE?平面AB₁D，BC₁?平面AB₁D，∴BC₁∥平面AB₁D．（6分）
（Ⅱ）過點D作DH⊥A₁B₁，∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴AA₁⊥平面A₁B₁C₁，AA₁⊥DH，AA₁∩A₁B₁=A₁，
∴DH⊥平面ABB₁A₁．DH為三棱錐D-ABB₁的高．（8分）
∵，（10分）
且 ，
∵．（12分）
分析：（Ⅰ）連結A₁B與AB₁交于E，與偶三角形的中位線的性質可得BC₁∥DE，再根據直線和平面平行的判定定理，證明BC₁∥平面AB₁D．
（Ⅱ）過點D作DH⊥A₁B₁，利用平面和平面垂直的性質可得DH⊥平面ABB₁A₁ ，DH為三棱錐D-ABB₁的高，求出和DE的值，再根據，運算求得結果．
點評：本題主要考查證明直線和平面平行的判定定理的應用，平面和平面垂直的性質，求棱錐的體積，屬于中檔題．