Question

【題目】如圖，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC，PA=AB=BC=2．
（1）求證：平面AEF⊥平面PBC；
（2）求三棱錐P﹣AEF的體積．

Answer 1

【答案】
解：（1）∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC
∴PA⊥BC
又AB⊥BC
∴BC⊥平面PAB，而AE平面PAB
∴BC⊥AE
又AE⊥PB
∴AE⊥平面PBC
而AE平面AEF
∴平面平面AEF⊥平面PBC
（2）由（1）AE⊥平面PBC
又∵AF⊥PC
∴EF⊥PC（三垂線定理逆定理）
∴△PEF∽△PCB
∴
∴S△PEF=S△PBC=
∴VP﹣AEF=VA﹣PEF=××=
【解析】（1）先根據條件得到PA⊥BC進而得BC⊥平面PAB，把問題轉化為證AE⊥平面PBC即可；
（2）先根據第一問的結論以及三垂線定理逆定理可得△PEF∽△PCB，求出S△PEF ， 再利用體積相等即可求出結論．
【考點精析】關于本題考查的平面與平面垂直的判定，需要了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能得出正確答案．