Question

（文）如圖幾何體是由一個棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁與一個側棱長為2的正四棱錐P-A₁B₁C₁D₁組合而成．
（1）求該幾何體的主視圖的面積；
（2）若點E是棱BC的中點，求異面直線AE與PA₁所成角的大小（結果用反三角函數表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）畫出其主視圖，可知其面積S為三角形與正方形面積之和，求出在正四棱錐P-A₁B₁C₁D₁中棱錐的高，即可求出該幾何體的主視圖的面積；
（2）取B₁C₁中點E₁，連接A₁E₁則∠PA₁E₁為異面直線AE與PA₁所成角，然后利用余弦定理求出此角的余弦值，最后利用反三角表示出此角即可．
解答：（文）解：（1）畫出其主視圖（如圖），
可知其面積S為三角形與正方形面積之和．
在正四棱錐P-A₁B₁C₁D₁中，棱錐的高，（2分）
．（6分）
（2）取B₁C₁中點E₁，連接A₁E₁，∵A₁E₁∥AE
則∠PA₁E₁為異面直線AE與PA₁所成角．（2分）
在△PA₁E₁中，，
又在正四棱錐P-A₁B₁C₁D₁中，斜高為，（4分）
由余弦定理可得  （6分）
所以，異面直線AE與PA₁所成的角為．（8分）
點評：本題主要考查了三視圖和異面直線所成角，以及平面圖象的面積的計算，屬于中檔題．