Question

選修4-4：坐標系與參數方程在極坐標系中，已知圓C：ρ=4cosθ被直線l：ρsin（θ-

π

6

）=a截得的弦長為2

3

，求實數a的值．

Answer 1

分析：先將圓與直線的極坐標方程化為普通方程，并求出r及圓心到直線的距離，利用r2=d2+(

l

2

)2即可求出答案．

解答：解：∵圓C：ρ=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ，∴x²+y²=4x，
即圓C的直角坐標方程為（x-2）²+y²=4，∴圓心C（2，0），半徑r=2．
∵直線l：ρsin（θ-

π

6

）=a，展開得ρ(

3

2

sinθ-

1

2

cosθ)=a，∴

3

y-x=2a，
 即 直線l的直角坐標方程為x-

3

y+2a=0．
 所以圓心C到直線l的距離d=

|2×1-0+2a|

12+( 3 )2

=|1+a|．
因為圓C被直線l截得的弦長為2

3

，所以r²-d²=(

2 3

2

)2．
即4-（1+a）²=3，化為a²+2a=0，
解得a=0，或a=-2．  
故實數a的值為0，或-2．

點評：本題考查了極坐標方程化為普通方程直線與圓相交弦長問題，正確化簡及充分利用r2=d2+(

l

2

)2是解題的關鍵．當然也可以利用弦長公式去求．