Question

【題目】如圖：一個圓錐的底面半徑為2，高為6，在其中有一個半徑為x的內接圓柱．
（1）試用x表示圓柱的體積；
（2）當x為何值時，圓柱的側面積最大，最大值是多少．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵圓錐的底面半徑為2，高為6，

∴內接圓柱的底面半徑為x時，它的上底面截圓錐得小圓錐的高為3x

因此，內接圓柱的高 h=6﹣3x；

∴圓柱的體積V=πx2（6﹣3x） （0＜x＜2）

（2）解：由（1）得，圓柱的側面積為

S側=2πx（6﹣3x）=6π（2x﹣x2） （0＜x＜2）

令t=2x﹣x2，當x=1時tmax=1．可得當x=1時，（ S側）max=6π

∴當圓柱的底面半徑為1時，圓柱的側面積最大，側面積有最大值為6π．

【解析】（1）根據圓錐的底面半徑為2、高為6，可得內接圓柱的半徑為x時，它的高h=6﹣3x，由此結合圓柱體積公式即可列出用x表示圓柱的體積的式子；（2）由（1）可得圓柱的側面積S側=6π（2x﹣x2），結合二次函數的單調性與最值，可得當圓柱的底面半徑為1時，圓柱的側面積最大，側面積有最大值為6π．
【考點精析】利用旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知常見的旋轉體有：圓柱、圓錐、圓臺、球．