Question

【題目】如圖，已知斜三棱柱中，，在底面上的射影恰為的中點(diǎn)，且.

（1）求證：；

（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；

（3）在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的平面角為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）不存在點(diǎn)滿(mǎn)足要求.見(jiàn)解析

【解析】

（1）作交于點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為 軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法證明；

（2）利用（1）中所建坐標(biāo)系，求出直線(xiàn)的方向向量和平面的一個(gè)法向量，則兩向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值即為線(xiàn)與面的夾角的正弦值；

（3）假設(shè)存在設(shè)（），求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)，即可求出的值，即可得證.

證明：（1）作交于點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為 軸建系

所以，

，所以

（2）因?yàn)?/span>，所以面的一個(gè)法向量為

因?yàn)?/span>，所以，

設(shè)線(xiàn)與平面所成角為，

（3）不存在，設(shè)，（）

,

設(shè)面的一個(gè)法向量為

有

，得

所以不存在點(diǎn)滿(mǎn)足要求.