Question

【題目】如圖，為保護河上古橋OA，規劃建一座新橋BC，同時設立一個圓形保護區，規劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護區的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m，經測量，點A位于點O正北方向60m處，點C位于點O正東方向170m處（OC為河岸），tan∠BCO= ．

（1）求新橋BC的長；
（2）當OM多長時，圓形保護區的面積最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，

過B作BE⊥OC于E，過A作AF⊥BE于F，

∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，

∴∠ABF=∠BCE，

∴ ．

設AF=4x（m），則BF=3x（m）．

∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，

∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），

∴BE=（3x+60）m．

∵ ，

∴CE= （m）．

∴ （m）．

∴ ，

解得：x=20．

∴BE=120m，CE=90m，

則BC=150m

（2）解：如圖，

設BC與⊙M切于Q，延長QM、CO交于P，

∵∠POM=∠PQC=90°，

∴∠PMO=∠BCO．

設OM=xm，則OP= m，PM= m．

∴PC= m，PQ= m．

設⊙M半徑為R，

∴R=MQ= m= m．

∵A、O到⊙M上任一點距離不少于80m，

則R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，

∴136﹣ ﹣（60﹣x）≥80，136﹣ ﹣x≥80．

解得：10≤x≤35．

∴當且僅當x=10時R取到最大值．

∴OM=10m時，保護區面積最大．

【解析】（1）在四邊形AOCB中，過B作BE⊥OC于E，過A作AF⊥BE于F，設出AF，然后通過解直角三角形列式求解BE，進一步得到CE，然后由勾股定理得答案；（2）設BC與⊙M切于Q，延長QM、CO交于P，設OM=xm，把PC、PQ用含有x的代數式表示，再結合古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m列式求得x的范圍，得到x取最小值時圓的半徑最大，即圓形保護區的面積最大．