Question

（2010•福建模擬）如圖，l₁、l₂是兩條互相垂直的異面直線，點P、C在直線l₁上，點A、B在直線l₂上，M、N分別是線段AB、AP的中點，且PC=AC=a，PA=

2

a．
（Ⅰ）證明：PC⊥平面ABC；
（Ⅱ）設平面MNC與平面PBC所成的角為θ（0°＜θ≤90°）．現給出下列四個條件：
①CM=

1

2

AB；②AB=

2

a；③CM⊥AB；④BC⊥AC．
請你從中再選擇兩個條件以確定cosθ的值，并求之．

Answer 1

分析：（I）在△PAC中根據PC=AC=a，PA=

2

a，三邊滿足勾股定理則PC⊥AC，根據題意可知PC⊥AB，又AC∩AB=A，滿足線面垂直的判定定理，從而得證；
（II）本小問具有開放性，選擇②④可確定cosθ的大小，根據AC⊥BC，且AB=

2

a，AC=a則BC=a，以C為坐標原點，

CB

、

CA

、

CP

的方向為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系，

CA

=（0，a，0）是平面PBC的一個法向量，然后求出平面MNC的法向量

n

，然后根據cos＜

n

，

CA

＞=

n • CA

|n| •  |CA|

，從而求出cosθ的值．

解答：證明：（I）在△PAC中∵PC=AC=a，PA=

2

a．
∴PC²+AC²=PA²，∴PC⊥AC
∵l₁、l₂是兩條互相垂直的異面直線，點P、C在直線l₁上，點A、B在直線l₂上，
∴PC⊥AB，又AC∩AB=A
∴PC⊥平面ABC
（II）選擇②④可確定cosθ的大小
∵AC⊥BC，且AB=

2

a，AC=a
∴BC=a
以C為坐標原點，

CB

、

CA

、

CP

的方向為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系
則C（0，0，0），B（a，0，0），A（0，a，0），P（0，0a）
又M、N分別是線段AB、AP的中點，
∴M（

a

2

，

a

2

，0），N（0，

a

2

，

a

2

）
∵CA⊥平面PBC
∴

CA

=（0，a，0）是平面PBC的一個法向量
設平面MNC的法向量

n

=（x，y，z）
由

n ⊥ CN n ⊥ CM

得

a 2 y+ a 2 z=0 a 2 x+ a 2 y=0

取x=1，得

n

=（1，-1，1）為平面MNC的一個法向量
∴cos＜

n

，

CA

＞=

n • CA

|n| •  |CA|

=

-a

3 a

=-

3

3

∴cosθ=

3

3

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及用空間向量求平面間的夾角，同時考查了開放性問題，屬于中檔題．