Question

如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的菱形，，底面，，為的中點，為的中點，于，如圖建立空間直角坐標系.

（1）求出平面的一個法向量并證明平面；

（2）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：這是一道應用空間向量解決空間平行與空間角問題的試題.（1）先確定、、的坐標，然后設出平面的一個法向量為，由確定的一個取值，最后驗證，即可作出平面的判斷；（2）先找到的一個法向量為，然后計算，最后結合圖形，確定二面角的余弦值是，還是.

試題解析：由題設知：在中，

、、、 4分

（1） 5分

， 6分

設平面的一個法向量為

則

令，得 8分

∵

∴平面 10分

（2）由（1）得平面的法向量，平面的一個法向量為 12分

設二面角的平面角為，則

即二面角的余弦值為 14分.

考點：1.空間向量的解決空間平行中的應用；2.空間向量在解決空間角中的應用.