Question

（2013•徐匯區一模）已知各項均為正數的等比數列{a_n}的首項a₁=1，公比為q，前n項和為S_n，若

lim

n→∞

Sn+1

Sn

=1，則公比為q的取值范圍是

（0，1]

．

Answer 1

分析：根據等比數列的前n項和公式S_n，S_n+1列出關于q的表達式，利用條件

lim

n→+∞

Sn+1

Sn

=1，分類討論然后求解即可得到答案．

解答：解：當q=1的情況，S_n+1=（n+1）a₁，所以

lim

n→+∞

Sn+1

Sn

=

n+1

n

=1成立，
當q≠1是的情況，Sn=

a1(1-qn)

1-q

，所以

lim

n→+∞

Sn+1

Sn

=

1-qn+1

1-qn

可以看出當q為小于1的分數的時候

lim

n→+∞

Sn+1

Sn

=1成立，
故答案為（0，1]．

點評：本題的考點是數列的極限，此主要考查極限及其運算，其中涉及到等比數列前n項和的求法，要分類討論求解．屬于綜合題目有一定的計算量．