Question

已知b、c是實數，函數f（x）=x²+bx+c對任意α、β∈R有f（sinα）≥0且f（2+cosβ）≤0．
（1）求f（1）的值；
（2）證明：c≥3．

Answer 1

分析：（1）利用正弦、余弦函數的值域，結合對任意α、β∈R有f（sinα）≥0且f（2+cosβ）≤0，即可求f（1）的值；
（2）確定f（3）≤0，代入，即可證明結論．

解答：（1）解：對任意α，β∈R，有-1≤sinα≤1，1≤2+cosβ≤3．
因為f（sinα）≥0且f（2+cosβ）≤0，
所以f（1）≥0且f（1）≤0，
所以，f（1）=0．  …（2分）
（2）證明：因為f（1）=0，所以1+b+c=0，即b=-1-c．
因為1≤2+cosβ≤3，f（2+cosβ）≤0，
所以f（3）≤0．
即3²+3b+c≤0，有9+3（-l-c）+c≤0，
所以，c≥3．  …（4分）

點評：本題考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，正確利用正弦、余弦函數的值域是關鍵．