Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下面給出四個命題：
①（

A1A

+

A1D1

+

A1B1

）²=3（

A1B1

）²
②

A1C

•（

A1B1

-

A1A

）=0．
③向量

AD1

與向量

A1B

的夾角為60°
④此正方體體積為：|

AB

•

AA1

•

AD

|
其中正確的命題序號是

①②③

．

Answer 1

分析：①根據(jù)

A1A

+

A1D1

+

A1B1

=

A1C

，可得結(jié)論；
②

A1C

•（

A1B1

-

A1A

）=（

A1B

+

BC

）•

AB1

=0；
③△AD₁C是正三角形，所以向量

AD1

與向量

D1C

的夾角為60°，根據(jù)

D1C

∥

A1B

，可得結(jié)論；
④正方體體積為：||

AB

||

AA1

||

AD

|．

解答：解：①∵

A1A

+

A1D1

+

A1B1

=

A1C

，∴（

A1A

+

A1D1

+

A1B1

）²=3（

A1B1

）²，即①正確；
②

A1C

•（

A1B1

-

A1A

）=（

A1B

+

BC

）•

AB1

=0，即②正確；
③∵△AD₁C是正三角形，∴向量

AD1

與向量

D1C

的夾角為60°
∵

D1C

∥

A1B

∴向量

AD1

與向量

A1B

的夾角為60°，即③正確；
④正方體體積為：||

AB

||

AA1

||

AD

|，即④不正確．
故答案為①②③．

點評：本題考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．